Korea NMO 2013-P2

Cho $b=d=0$, ta được $f(c)=f(c)+f(0)$, suy ra $f(c)=0$

Cho $b=-c$, ta được $f(a)=f(-a)$, suy ra đây là hàm chẵn

Đặt $x=b$, $y=c$, $z=-a$, $t=-d$, ta được:

Với $xz+yt=xy$, ta có:

$f(x+z)+f(y+t)=f(z)+f(t)+f(x+y)$

Xét $P(x,x,x-t,t)$: $f(2x-t)+f(x+t)=f(x-t)+f(t)+f(2x)$

Từ đây suy ra $f(2x)=4f(x)$

Bằng quy nạp, ta có $f(kx)=k^2f(x)$, với mọi $k \in Q$

Xét $P(x,y,z,\frac{x(y-z)}{y})$: $f(x+y)+f(z)+f(\frac{x(y-z)}{y})=f(x+z)+f(y+\frac{x(y-z)}{y})$

Đặt $z=$\frac{y(2x+y)}{2x}$, ta có:

$f(x+y)+f(z)=f(x+z)$

Từ đây suy ra $f$ tăng với mọi số $x$ nguyên dương

Sử dụng kết quả $f(kx)=k^2f(x)$, đưa về giới hạn, ta có $f(x)=cx^2$