Korea NMO 2013-P6

Xét phép biến đổi $i$ biến thành $f(i)$ và $f(i)$ biến thành $i$
Đặt $B={1;2;...;n}\A$
Bổ đề: Với $x \in B$, ta có $\left | A \right |+2\left | B \right |+\left | C \right |=\left | D \right |$ tương đương với $\left | A' \right |+2\left | B' \right |+\left | C' \right |=\left | D' \right |$ với $A',B',C',D'$ là ảnh của $A,B,C,D$ qua phép biến đổi trên
Ta phân hoạch $B$ thành $B_1,B_2$, với $A_1$ gồm các phần tử chứa $x$, tương tự với $C_1,D_1$
Ta sẽ quy nạp theo $\left | A \right |$
Với $\left | A \right |=0$ thì bài toán hiển nhiên đúng
Giả sử $\left | A \right |=k$ đúng
Bằng đếm thông thường, ta chứng minh được $\left | A \right |=k+1$ đúng
Bổ đề được chứng minh
Quay lại bài toán
Ta thực hiện các phép biến đổi đưa $\left | A \right |=n-1$
Ví dụ: $f(x)=x+1$, riêng $f(n)=1$
Khi đó thì ta có $\left | A \right |=n-1$,$\left | B \right |=0$,$\left | C \right |=0$, $\left | D \right |=n-1$
Suy ra đpcm